Clase N°11

20l6- mayo- 31

Análisis de dominio de definición

-El dominio de definición o campo de existencia puede ser una región del plano XOY o todo el plano XOY.

-Para realizar el análisis del dominio de f(x,y) se debe tomar en cuenta las siguientes partes:

1. Análisis matemático
2. Análisis gráfico en R2 a R3
3. Análisis descriptivo

Ejemplo:

Gráficas y curvas de nivel

Se define como curvas de nivel al conjunto de todos los puntos del plano donde f(x,y) tiene un valor constante, es decir: f(x,y)=c

Ejemplos:

1.-Si z=t(x,y) es la temperatura en cada punto de una región del plano las curvas de nivel corresponden a puntos de igual temperatura.
Las curvas se llaman ISOTERMAS.
2.-Si z=P(x,y) es el potencial eléctrico de cada punto de una región del plano, las curvas de nivel corresponden a puntos de igual potencial, en este caso se llaman EQUIPOTENCIALES.

             
                   
             CURVAS DE CONTORNO         ➜









              CURVAS DE NIVEL           ➜

Clase N°10

2016-mayo-26

Vectores Normales y Binormales

El vector tangente:

Vector Tangente Unitario:

El principal vector normal se define como:

Vector Normal Unitario:

El vector binormial:

Vector Binormal Unitario:

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

Triedro Móvil

• Plano Osculador: (T ^ N)

          Vector Normal   B= (Bx,By,Bz)
          B1(x-x0) + B2(y-y0) + B3(z-z0) = 0

          

• Plano Normal Principal (N ^ B)

          Vector Normal   T= (Tx,Ty,Tz)
          T1(x-x0) + T2(y-y0) + T3(z-z0) = 0

• Plano Rectificante (T^ B)

          Vector Normal   N= (Nx,Ny,Nz)
          N1(x-x0) + N2(y-y0) + N3(z-z0) = 0

• Recta Tangente:

          (x-x0)/Tx = (y-y0)/Ty = (z-z0)/Tz

• Recta Normal Principal:

          (x-x0)/Nx = (y-y0)/Ny = (z-z0)/Nz

• Recta Binormal:

          (x-x0)/Bx = (y-y0)/By = (z-z0)/Bz

Funciones de varias variables

Sea: f: R^n ---------------------------> R

(X1, x2….xn) -------------------> z=f(x1, x2….xn)

ANÁLISIS DE DOMINIO:

· F(x,y)=z la gráfica en R^3, se obtiene una superficie.
· El dominio de la función f(x,y) será una región del plano xoy o todo el plano xoy
· El rango de f(x,y), es un conjunto de escalares de z Є R.

-Para realizar el análisis del dominio de f(x,y) se debe tomar en cuenta las siguientes partes:

   1.-Análisis matemático
   2.-Análisis gráfico en R2 a R3
   3.-Análisis descriptivo

Referencias:

Calculo de varias variables (p. 836) Recuperado de:

https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view

Clase N°9

2016-mayo-24

Curvatura

Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos.
En este caso el vector tangente siempre es unitario.

• El vector tangente unitario indica la dirección de la curva:

• La curvatura de C se define:

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud.

Teorema:

La curvatura de una curva  C se calcula:

Referencias:

Calculo de varias variables(p.833) Recuperado de:
 https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view 

Clase N°8

2016-mayo-19

Derivadas:

Interpretación Geométrica

Se considera a   como el vector tangente a la curva C en el punto t.

Interpretación Física

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular.
Al vector se le llama vector de posición de la curva y a los vectores y se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración.
De modo que la rapidez en un instante t es | | , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector.
Al vector también se le llama vector tangente a la curva en t.

Integración de funciones vectoriales

Ejemplos:

Longitud de Arco y Curva

La longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula: 

Clase N°7

2016-mayo-17

Operaciones con Funciones Vectoriales

A partir de F(t) y G(t)

*(F+G)(t)= F(t) + G(t)
*(αF)(t) = α*F(t)
*<F.G>(t) = <F(t) . G(t)>

*<F\G>(t) = <F(t) \ G(t)>
*|F(t)| = (F(t))^2)^0.5
*<F*G>(t) = <F(t) * G(t)>
*|F o h | = F[h(t)]

Límites y Continuidad

Para calcular el limite de F(t), debemos calcular el limite de cada f(t).

Para que una función sea continua se debe cumplir que:

Derivación de funciones vectoriales

r=I-> R^n

donde: IcR

Clase N°6

2016-mayo-12

Funciones vectoriales de variable real

Definido como:

r=I-> R^n: IcR
t-> F(t) =(f1(t), f2(t),...fn(t))
donde fi(t) es una función real.

Características:

*El dominio de F(t) es la intersección de los dominios de las funciones.
*El rango es la unión de los rangos de cada función.


En R3:

F(t)= vector

F(t)= (f1(t), f2(t), f3(t))

F(t)= f1(t)i + f2(t)j+ f3(t)k
F(t)= (x(t), y(t), z(t))

Las funciones paramétricas son:
x(t)= f1(t)
y(t)= f2(t)
z(t)= f3(t)

*La gráfica de una función en R3 es una curva alabeada representada en el espacio.
*La gráfica de una función en R2 es una curva plana representada el el plano XOY.

Clase N° 5

2016- mayo-3

*Ecuación de la recta a partir de la intersección de 2 planos.

 

Ecuaciones paramétricas:

Ecuaciones canónicas:

Ecuación vectorial:

Ecuación del haz de planos

Supuestos:

Plano f1: A1x+ B1y+ C1z+ D1=0
Plano f2: A2x+ B2y+ C2z+ D2=0

Análisis gráfico de Superficies

1. Intersección de la superficie con los ejes coordenados

1. Con el eje OX
2. Con el eje OY
3. Con el eje OZ

2. Intersección de la superficie con los planos coordenados

1. Con el plano XOY
2. Con el plano XOZ
3. Con el plano YOZ

3. Intersección de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados

1. Paralelos al plano XOY
2. Paralelos al plano XOZ
3. Paralelos al plano YOZ

4. Bosquejo de la gráfica de la superficie