Clase N°15

2016-junio-21

DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR

Se llaman derivadas parciales de segundo orden de la función z = f(x,y) a las derivadas parciales de las derivadas parciales de primer orden.
En R3


Si las derivadas parciales son continuas, entonces las derivadas cruzadas son iguales

Ejemplo:

Resolución en el siguiente video: https://www.youtube.com/watch?v=yYBn-_PtWOc

Referencias:

[Bechi2012] DEMOSTRACION CON DERIVADAS PARCIALES DE SEGUNDO ORDEN. (2010  diciembre, 20)[Archivo de video] Recuperado de https://www.youtube.com/watch?v=yYBn-_PtWOc Fecha: 2016 junio 21.

Clase N°14

2016- junio- 14

PLANOS TANGENTES A LA SUPERFICIE.

ECUACIÓN DEL PLANO TANGENTE  
P(x0,y0,z0)
fx(x-x0) + fy(y-y0) -(z-z0)=0

DERIVADAS DIRECCIONALES:

GRADIENTE:

Referencias:

Calculo de varias variables

Capitulo 14.4

https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view

Clase N°13

2016- junio- 7

Derivadas Parciales

Si y=y0, constante, entonces z=f(x,x0) es función de una sola variable "x", entonces:

El numero de derivadas parciales depende del numero de variables independientes que tenga la función.
Se aplican las mismas reglas y propiedades de las derivadas de funciones reales de una sola variable.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA:

* Para dar una interpretación geométrica de las derivadas parciales, recordemos que todo campo escalar z=F(x; y) representa geometricamente una superficie S.
Si F(a; b) = c,    entonces el punto P(a; b; c) se encuentra en S. Al variar x y permanecer y constante (y = b) estamos considerando la curva intersección C1 (traza) entre la supercie S y el plano vertical   y = b, la curva C1 es la gráfica de la función f(x) = F(x; b) de modo que la recta tangente a C1 en P tiene como pendiente a f(a).

INTERPRETACIÓN FÍSICA:

*Se conoce que la derivada parcial con respecto a x es la razón de cambio de la función, cuando x cambia y y se mantiene constante.
*Por otra parte la derivada parcial con respecto a y es la razón de cambio de la función cuando y cambia y x es constante.

Derivación de funciones implícitas

Referencias:

Calculo de varias variables
Capítulo 14.3

https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view

Deber N°5

Longitud de onda

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!263&authkey=!AGZ3t5-KFi9urH0&ithint=file%2cpdf

Deber N°4

Funciones Vectoriales

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!261&authkey=!AFmzVJ5XCMIomdg&ithint=file%2cpdf

Deber N°3

Superficie

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!256&authkey=!AKVIj4bIIQP7e8w&ithint=file%2cpdf

Deber N°2

Planos

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!259&authkey=!AN2aTPZdPTCXnWg&ithint=file%2cpdf

Deber N°1

Vectores

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!254&authkey=!AGaeeuIQQUFlE7M&ithint=file%2cpdf

Corrección

Prueba bimestral N°1

https://onedrive.live.com/redir?resid=F34B0BACEC802E39!264&authkey=!AIZOswUfrM9OGeM&ithint=file%2cpdf

Clase N°12

2016- junio- 2

Ejercicios de superficies de nivel:

Límites y continuidad

Limites:

Para demostrar la continuidad de una funcion se puede:
Analizar la existencia por infinitos caminos o trayectorias de acercamiento a (x0,y0)
Si por 2 caminos el valor del limite es diferente, entonces concluimos que no existe el limite.
Si por 2 o mas caminos el valor del limite es el mismo, se debe demostrar que el limite existe mediante la definición o algún artificio matemático que lo permita.

Continuidad:

Para evaluar la continuidad de una función de varias variables, se debe aplicar y evaluar las 3 condiciones que se usaba antes:
1) Existencia de f(x0,y0)
2) Existencia del limite cuando (x,y) tiende a 0
3) La igualdad entre 1 y 2

Ademas se tiene los mismos tipos de discontinuidades:
*Evitable
*Inevitable

Referencias:

Calculo de varias variables. Capítulo 14
https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view

Clase N°11

20l6- mayo- 31

Análisis de dominio de definición

-El dominio de definición o campo de existencia puede ser una región del plano XOY o todo el plano XOY.

-Para realizar el análisis del dominio de f(x,y) se debe tomar en cuenta las siguientes partes:

1. Análisis matemático
2. Análisis gráfico en R2 a R3
3. Análisis descriptivo

Ejemplo:

Gráficas y curvas de nivel

Se define como curvas de nivel al conjunto de todos los puntos del plano donde f(x,y) tiene un valor constante, es decir: f(x,y)=c

Ejemplos:

1.-Si z=t(x,y) es la temperatura en cada punto de una región del plano las curvas de nivel corresponden a puntos de igual temperatura.
Las curvas se llaman ISOTERMAS.
2.-Si z=P(x,y) es el potencial eléctrico de cada punto de una región del plano, las curvas de nivel corresponden a puntos de igual potencial, en este caso se llaman EQUIPOTENCIALES.

             
                   
             CURVAS DE CONTORNO         ➜









              CURVAS DE NIVEL           ➜

Clase N°10

2016-mayo-26

Vectores Normales y Binormales

El vector tangente:

Vector Tangente Unitario:

El principal vector normal se define como:

Vector Normal Unitario:

El vector binormial:

Vector Binormal Unitario:

Estos tres vectores son unitarios y perpendiculares entre sí, juntos forman un sistema de referencia móvil conocido como Triedro de Frénet-Serret.

Triedro Móvil

• Plano Osculador: (T ^ N)

          Vector Normal   B= (Bx,By,Bz)
          B1(x-x0) + B2(y-y0) + B3(z-z0) = 0

          

• Plano Normal Principal (N ^ B)

          Vector Normal   T= (Tx,Ty,Tz)
          T1(x-x0) + T2(y-y0) + T3(z-z0) = 0

• Plano Rectificante (T^ B)

          Vector Normal   N= (Nx,Ny,Nz)
          N1(x-x0) + N2(y-y0) + N3(z-z0) = 0

• Recta Tangente:

          (x-x0)/Tx = (y-y0)/Ty = (z-z0)/Tz

• Recta Normal Principal:

          (x-x0)/Nx = (y-y0)/Ny = (z-z0)/Nz

• Recta Binormal:

          (x-x0)/Bx = (y-y0)/By = (z-z0)/Bz

Funciones de varias variables

Sea: f: R^n ---------------------------> R

(X1, x2….xn) -------------------> z=f(x1, x2….xn)

ANÁLISIS DE DOMINIO:

· F(x,y)=z la gráfica en R^3, se obtiene una superficie.
· El dominio de la función f(x,y) será una región del plano xoy o todo el plano xoy
· El rango de f(x,y), es un conjunto de escalares de z Є R.

-Para realizar el análisis del dominio de f(x,y) se debe tomar en cuenta las siguientes partes:

   1.-Análisis matemático
   2.-Análisis gráfico en R2 a R3
   3.-Análisis descriptivo

Referencias:

Calculo de varias variables (p. 836) Recuperado de:

https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view

Clase N°9

2016-mayo-24

Curvatura

Dada una curva regular F(t) se puede reparametrizar, de manera que la longitud de la curva entre dos puntos a y b coincida con la longitud del intervalo con origen en a y extremo en b; en este caso se dice que la curva está parametrizada por la longitud de arco, que llamamos.
En este caso el vector tangente siempre es unitario.

• El vector tangente unitario indica la dirección de la curva:

• La curvatura de C se define:

La curvatura viene a medir como se “tuerce” la curva respecto de su longitud.

Teorema:

La curvatura de una curva  C se calcula:

Referencias:

Calculo de varias variables(p.833) Recuperado de:
 https://drive.google.com/file/d/0B3NNTBVL1_YVZDR4ZUN5OEl6REU/view 

Clase N°8

2016-mayo-19

Derivadas:

Interpretación Geométrica

Se considera a   como el vector tangente a la curva C en el punto t.

Interpretación Física

Cuando una función vectorial definida en un intervalo abierto de R es derivable indefinidamente y su primera derivada no es nula, decimos que se trata de una curva regular.
Al vector se le llama vector de posición de la curva y a los vectores y se les llama, respectivamente, vectores velocidad y aceleración.
De modo que la rapidez en un instante t es | | , es importante observar que la rapidez es un escalar, mientras que la velocidad un vector.
Al vector también se le llama vector tangente a la curva en t.

Integración de funciones vectoriales

Ejemplos:

Longitud de Arco y Curva

La longitud de arco de curva entre dos puntos F(a) y F(b) viene dada por la fórmula: 

Clase N°7

2016-mayo-17

Operaciones con Funciones Vectoriales

A partir de F(t) y G(t)

*(F+G)(t)= F(t) + G(t)
*(αF)(t) = α*F(t)
*<F.G>(t) = <F(t) . G(t)>

*<F\G>(t) = <F(t) \ G(t)>
*|F(t)| = (F(t))^2)^0.5
*<F*G>(t) = <F(t) * G(t)>
*|F o h | = F[h(t)]

Límites y Continuidad

Para calcular el limite de F(t), debemos calcular el limite de cada f(t).

Para que una función sea continua se debe cumplir que:

Derivación de funciones vectoriales

r=I-> R^n

donde: IcR

Clase N°6

2016-mayo-12

Funciones vectoriales de variable real

Definido como:

r=I-> R^n: IcR
t-> F(t) =(f1(t), f2(t),...fn(t))
donde fi(t) es una función real.

Características:

*El dominio de F(t) es la intersección de los dominios de las funciones.
*El rango es la unión de los rangos de cada función.


En R3:

F(t)= vector

F(t)= (f1(t), f2(t), f3(t))

F(t)= f1(t)i + f2(t)j+ f3(t)k
F(t)= (x(t), y(t), z(t))

Las funciones paramétricas son:
x(t)= f1(t)
y(t)= f2(t)
z(t)= f3(t)

*La gráfica de una función en R3 es una curva alabeada representada en el espacio.
*La gráfica de una función en R2 es una curva plana representada el el plano XOY.

Clase N° 5

2016- mayo-3

*Ecuación de la recta a partir de la intersección de 2 planos.

 

Ecuaciones paramétricas:

Ecuaciones canónicas:

Ecuación vectorial:

Ecuación del haz de planos

Supuestos:

Plano f1: A1x+ B1y+ C1z+ D1=0
Plano f2: A2x+ B2y+ C2z+ D2=0

Análisis gráfico de Superficies

1. Intersección de la superficie con los ejes coordenados

1. Con el eje OX
2. Con el eje OY
3. Con el eje OZ

2. Intersección de la superficie con los planos coordenados

1. Con el plano XOY
2. Con el plano XOZ
3. Con el plano YOZ

3. Intersección de la superficie con los planos paralelos a los planos coordenados

1. Paralelos al plano XOY
2. Paralelos al plano XOZ
3. Paralelos al plano YOZ

4. Bosquejo de la gráfica de la superficie

Clase N° 4

2016-Abril-28

Normalización de la ecuación general del plano

*Supuestos:

    Ec. General: Ax+By+Cz+D=0

    Ec. Normal: 0= xcosα + ycosβ + zcosγ - p

    u(Ax+By+Cz+D)=0

    u= factor normalizante

*NOTA:  El signo del factor normalizante debe ser contrario al signo de D en la ecuación.

Desviación de un punto respecto a un plano

*d(+) cuando el punto y el origen están en lados opuestos con respecto al plano.
*d(-) cuando el punto y el origen están en el mismo lado con respecto al plano.

Plano determinado por 3 puntos

Ecuación del plano dado 3 puntos: (r-r1)*(r2-r1)x(r3-r1)=0
Producto punto: (r-r1)*(r2-r1)
Producto cruz: (r2-r1)x(r3-r1)

Observaciones:
*Si el producto mixto es igual a cero, los vectores son coplanares.
*El producto mixto geometricamente representa el volumen del paralelepípedo cuyas aristas son 3 vectores.